十字相乘法因式分解：3类例题逐步验证
十字相乘法用于把二次三项式拆成两个一次式的乘积。它不是九九乘法口诀的另一种写法，而是中学代数中的因式分解方法；名称里的“十字”来自交叉相乘并相加验证中间项。
首项系数为1的基本公式
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
要找两个数p、q，同时满足：和等于一次项系数，积等于常数项。
例1：x²+5x+6
- 找两个数，和为5、积为6。
- 2+3=5，2×3=6，所以取2和3。
- 结果为(x+2)(x+3)。
展开验证：(x+2)(x+3)=x²+3x+2x+6=x²+5x+6。
例2：x²-x-6
- 找两个数，和为-1、积为-6。
- -3+2=-1，(-3)×2=-6。
- 结果为(x-3)(x+2)。
常数项为负数时，两数异号；一次项系数的正负决定绝对值较大的数取什么符号。
首项系数不为1：2x²+7x+3
先拆首项2x²为2x和x，再拆常数3为1和3。交叉相乘得到2x×3=6x、x×1=x，两项相加正好是7x，所以：
2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)
十字相乘的检查顺序
| 首项 | 两个一次项相乘必须等于原式首项。 |
|---|---|
| 常数项 | 两个常数相乘必须等于原式常数项。 |
| 中间项 | 交叉相乘后的两项相加必须等于原式一次项。 |
什么时候不能直接分解
若找不到符合条件的整数，不代表原式一定不能分解，只说明不能在整数范围内直接用这一组十字组合。例如x²+x+1没有两整数的和为1且积为1，因此不能分解为整数系数的一次因式乘积。
和乘法口诀有什么关系
寻找“和与积”时仍会频繁使用基础乘法。例如分解x²+7x+12，要快速判断3×4=12且3+4=7。熟悉九九乘法表能缩短试数时间，但十字相乘法还需要符号判断和代数展开验证。